Graphes - Maîtriser les algorithmes essentiels

Objectifs d'apprentissage

• Comprendre les concepts fondamentaux des graphes, y compris les nœuds, les arêtes, les graphes orientés et non orientés, ainsi que leurs propriétés.
• Maîtriser les algorithmes classiques de parcours de graphes, tels que le parcours en profondeur (DFS) et le parcours en largeur (BFS).
• Appliquer des algorithmes de recherche de plus court chemin, comme ceux de Dijkstra et de Bellman-Ford, pour résoudre des problèmes concrets.
• Étudier les algorithmes de recherche d'arbres couvrants minimaux (Kruskal et Prim) et leurs applications dans les réseaux.
• Analyser des problèmes d'ordonnancement et de flux à l'aide de graphes, notamment avec l'algorithme de Ford-Fulkerson.
• Développer des compétences en modélisation de problèmes réels sous forme de graphes et en implémentation d'algorithmes associés.

Public cible

Ce cours s'adresse aux étudiants en informatique, en mathématiques appliquées ou en ingénierie, ainsi qu'aux professionnels souhaitant approfondir leurs connaissances en algorithmique des graphes. Il est particulièrement adapté aux personnes intéressées par l'optimisation, la théorie des réseaux ou l'intelligence artificielle, où les graphes jouent un rôle central. Une base en programmation et en mathématiques discrètes est recommandée pour tirer pleinement profit du contenu.

Introduction aux graphes

La notion de graphe est une structure combinatoire permettant de représenter de nombreuses situations rencontrées dans des applications faisant intervenir des mathématiques discrètes et nécessitant une solution informatique. Circuits électriques, réseaux de transport (ferrés, routiers, aériens), réseaux d'ordinateurs, ordonnancement d'un ensemble de tâches sont les principaux domaines d'application où la structure de graphe intervient.

Concepts fondamentaux

Un graphe est composé de sommets (ou nœuds) reliés par des arêtes (ou arcs dans le cas des graphes orientés). Les graphes peuvent être pondérés, avec des valeurs associées aux arêtes, ou non pondérés. Les propriétés comme la connectivité, les cycles et les degrés des sommets sont essentielles pour comprendre leur comportement.

Algorithmes de parcours

Les algorithmes DFS (Depth-First Search) et BFS (Breadth-First Search) permettent d'explorer systématiquement tous les sommets d'un graphe. Le DFS privilégie la profondeur, tandis que le BFS explore les sommets niveau par niveau. Ces algorithmes sont utilisés pour détecter des cycles, vérifier la connectivité ou trouver des composantes connexes.

Plus courts chemins

Les algorithmes de Dijkstra et Bellman-Ford résolvent le problème du plus court chemin entre un sommet source et tous les autres. Dijkstra est efficace pour les graphes à poids positifs, tandis que Bellman-Ford gère les poids négatifs (sans cycles négatifs). Ces méthodes sont cruciales pour la planification de trajets ou l'optimisation de réseaux.

Arbres couvrants minimaux

Les algorithmes de Kruskal et Prim permettent de trouver un arbre couvrant de poids minimal dans un graphe connexe pondéré. Kruskal trie les arêtes par poids croissant, tandis que Prim construit l'arbre progressivement à partir d'un sommet. Ces techniques sont utilisées dans la conception de réseaux informatiques ou électriques.

Flux et ordonnancement

L'algorithme de Ford-Fulkerson maximise le flux dans un réseau, modélisé par un graphe orienté avec des capacités. Les graphes sont aussi utilisés pour l'ordonnancement via des diagrammes de Gantt ou des méthodes PERT, optimisant l'organisation de tâches interdépendantes.

Applications pratiques

Les graphes sont omniprésents en informatique : réseaux sociaux (analyse de communautés), navigation (Google Maps), bioinformatique (interactions protéiques) et bien d'autres. Leur maîtrise ouvre des perspectives dans des domaines innovants comme le machine learning sur graphes (Graph Neural Networks).