Théorie des jeux - Maîtriser les stratégies gagnantes

Objectifs d'apprentissage

• Comprendre les fondements théoriques des jeux, y compris les jeux en forme normale et les jeux de Gale-Stewart.
• Maîtriser les concepts clés tels que l'induction bien-fondée et les ordinaux dans le contexte des jeux.
• Analyser les jeux combinatoires impartiaux et partisans à information parfaite.
• Appliquer les principes de la théorie des jeux à des problèmes concrets à travers des exercices pratiques.
• Développer une capacité à modéliser des situations stratégiques et à prédire les comportements des joueurs.

Public cible

Ce cours s'adresse aux étudiants en mathématiques, en économie ou en informatique ayant un intérêt pour la modélisation stratégique et les systèmes complexes. Il est également adapté aux professionnels dans les domaines de la recherche opérationnelle, de l'analyse stratégique ou de la théorie de la décision. Une connaissance de base en logique et en mathématiques discrètes est recommandée pour tirer pleinement profit du contenu.

Introduction et typologie

La théorie des jeux est une discipline qui étudie les interactions stratégiques entre agents rationnels. Ce cours commence par une introduction aux différents types de jeux, notamment les jeux coopératifs et non coopératifs, ainsi que les jeux à information parfaite et imparfaite. Nous explorerons également la typologie des jeux, en mettant l'accent sur leurs structures et leurs classifications.

Jeux en forme normale

Les jeux en forme normale, ou jeux stratégiques, sont représentés par des matrices de gains. Cette section couvre les concepts d'équilibre de Nash, de stratégies dominantes et de solutions optimales. Nous examinerons des exemples classiques tels que le dilemme du prisonnier et la bataille des sexes pour illustrer ces notions.

Jeux de Gale-Stewart et détermination

Les jeux de Gale-Stewart sont des jeux à information parfaite et à somme nulle. Nous étudierons le principe de détermination, qui établit que certains jeux ont une stratégie gagnante pour l'un des joueurs. Cette partie inclut des preuves formelles et des applications à la théorie des ensembles.

Théorie de l'induction bien-fondée

L'induction bien-fondée est un outil puissant pour analyser les structures récursives dans les jeux. Nous verrons comment cette technique permet de démontrer des propriétés sur des jeux infinis et comment elle s'applique à la résolution de problèmes complexes.

Introduction aux ordinaux

Les ordinaux jouent un rôle crucial dans l'étude des jeux infinis. Cette section présente les bases de la théorie des ordinaux, y compris les définitions, les opérations et leur utilisation dans la classification des jeux.

Jeux combinatoires impartiaux à information parfaite

Les jeux combinatoires impartiaux, comme le jeu de Nim, sont des jeux où les joueurs ont les mêmes options disponibles. Nous analyserons les stratégies gagnantes, les nombres de Grundy et la théorie de Sprague-Grundy pour résoudre ces jeux.

Notions sur les combinatoires partisans à information parfaite

Contrairement aux jeux impartiaux, les jeux partisans permettent aux joueurs d'avoir des ensembles de coups différents. Nous introduirons les concepts de jeux partisans, y compris les jeux de Hackenbush et les jeux de nombres surréels, en explorant leurs propriétés mathématiques.

Exercices

Pour consolider les connaissances acquises, ce cours propose une série d'exercices pratiques. Ces exercices couvrent tous les thèmes abordés, des jeux en forme normale aux jeux combinatoires, et incluent des problèmes théoriques ainsi que des études de cas concrets.