Ce cours couvre les concepts fondamentaux des théories des jeux, incluant les équilibres de Nash, les jeux coopératifs et non coopératifs, ainsi que les stratégies dominantes, pour analyser les interactions stratégiques entre acteurs rationnels. Ce PDF, rédigé par David A. Madore, offre une introduction claire et structurée aux modèles mathématiques utilisés en économie, sciences politiques et biologie évolutive. Il aborde également les applications pratiques des théories des jeux dans des domaines tels que les enchères, les négociations et les comportements sociaux. Le document fournit des exemples concrets et des exercices pour faciliter la compréhension des mécanismes sous-jacents aux décisions stratégiques.
Ce cours s'adresse aux étudiants en mathématiques, en économie ou en informatique ayant un intérêt pour la modélisation stratégique et les systèmes complexes. Il est également adapté aux professionnels dans les domaines de la recherche opérationnelle, de l'analyse stratégique ou de la théorie de la décision. Une connaissance de base en logique et en mathématiques discrètes est recommandée pour tirer pleinement profit du contenu.
La théorie des jeux est une discipline qui étudie les interactions stratégiques entre agents rationnels. Ce cours commence par une introduction aux différents types de jeux, notamment les jeux coopératifs et non coopératifs, ainsi que les jeux à information parfaite et imparfaite. Nous explorerons également la typologie des jeux, en mettant l'accent sur leurs structures et leurs classifications.
Les jeux en forme normale, ou jeux stratégiques, sont représentés par des matrices de gains. Cette section couvre les concepts d'équilibre de Nash, de stratégies dominantes et de solutions optimales. Nous examinerons des exemples classiques tels que le dilemme du prisonnier et la bataille des sexes pour illustrer ces notions.
Les jeux de Gale-Stewart sont des jeux à information parfaite et à somme nulle. Nous étudierons le principe de détermination, qui établit que certains jeux ont une stratégie gagnante pour l'un des joueurs. Cette partie inclut des preuves formelles et des applications à la théorie des ensembles.
L'induction bien-fondée est un outil puissant pour analyser les structures récursives dans les jeux. Nous verrons comment cette technique permet de démontrer des propriétés sur des jeux infinis et comment elle s'applique à la résolution de problèmes complexes.
Les ordinaux jouent un rôle crucial dans l'étude des jeux infinis. Cette section présente les bases de la théorie des ordinaux, y compris les définitions, les opérations et leur utilisation dans la classification des jeux.
Les jeux combinatoires impartiaux, comme le jeu de Nim, sont des jeux où les joueurs ont les mêmes options disponibles. Nous analyserons les stratégies gagnantes, les nombres de Grundy et la théorie de Sprague-Grundy pour résoudre ces jeux.
Contrairement aux jeux impartiaux, les jeux partisans permettent aux joueurs d'avoir des ensembles de coups différents. Nous introduirons les concepts de jeux partisans, y compris les jeux de Hackenbush et les jeux de nombres surréels, en explorant leurs propriétés mathématiques.
Pour consolider les connaissances acquises, ce cours propose une série d'exercices pratiques. Ces exercices couvrent tous les thèmes abordés, des jeux en forme normale aux jeux combinatoires, et incluent des problèmes théoriques ainsi que des études de cas concrets.
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