Algorithmique - Cours et Travaux Dirigés Complets

Objectifs d'apprentissage

• Maîtriser les concepts fondamentaux de l'algorithmique et les différentes techniques de conception d'algorithmes
• Apprendre à analyser la complexité temporelle et spatiale des algorithmes
• Savoir implémenter des algorithmes efficaces pour résoudre des problèmes classiques
• Comprendre les paradigmes algorithmiques comme "diviser pour régner", la programmation dynamique et les algorithmes gloutons
• Acquérir des compétences pratiques en résolution de problèmes à travers des travaux dirigés

Public cible

Ce cours s'adresse aux étudiants en informatique (niveau licence ou classes préparatoires), aux développeurs souhaitant approfondir leurs connaissances algorithmiques, et à toute personne intéressée par la résolution efficace de problèmes informatiques. Une connaissance de base en programmation et en mathématiques discrètes est recommandée.

Contenu détaillé

Le cours commence par une Introduction présentant les concepts de base à travers l'exemple classique du calcul de xⁿ, illustrant différentes approches algorithmiques et leur analyse.

La partie Diviser pour régner explore ce paradigme fondamental à travers des algorithmes comme les tours de Hanoï, le tri fusion ou la recherche dichotomique, en analysant systématiquement leur complexité.

Le module Programmation dynamique enseigne comment résoudre des problèmes d'optimisation en décomposant les problèmes en sous-problèmes plus simples, avec des applications comme le sac à dos ou la plus longue sous-séquence commune.

Les Algorithmes gloutons présentent une autre approche d'optimisation, avec des cas d'usage comme l'algorithme de Dijkstra ou le problème du rendu de monnaie, tout en discutant de leurs limites.

La section Tri couvre en profondeur les algorithmes de tri classiques (tri rapide, tri par tas, tri par base) avec des analyses comparatives de leurs performances et des cas d'application spécifiques.

Le chapitre Graphes aborde les représentations des graphes, les algorithmes de parcours (DFS, BFS), les plus courts chemins (Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd-Warshall) et les arbres couvrants minimum (Prim, Kruskal).

Les Tables de hachage expliquent les principes du hachage, les fonctions de hachage optimales et les techniques de résolution des collisions, avec des applications pratiques en bases de données.

L'Analyse amortie fournit des outils pour évaluer la complexité des opérations sur des structures de données complexes comme les tas de Fibonacci ou les tables dynamiques.

La théorie de la NP-Complétude introduit les classes de complexité, les problèmes NP-complets et les techniques de réduction, permettant de classifier les problèmes selon leur difficulté théorique.

Enfin, les Algorithmes d'approximation offrent des solutions pratiques aux problèmes NP-difficiles, avec des garanties de performance, illustrées par des cas comme le voyageur de commerce ou la couverture d'ensemble.

Méthodologie

Le cours alterne entre théorie (50%) et pratique (50%). Chaque concept est illustré par des exemples concrets et mis en pratique lors de séances de travaux dirigés où les étudiants implémentent et testent des algorithmes sur des jeux de données variés. Des projets permettent d'appliquer ces connaissances à des problèmes complexes.

Résultats attendus

À l'issue du cours, les étudiants seront capables de :

• Choisir le paradigme algorithmique approprié à un problème donné
• Concevoir des algorithmes optimaux pour des problèmes classiques
• Analyser rigoureusement la complexité des solutions proposées
• Implémenter efficacement des algorithmes complexes
• Reconnaître les problèmes NP-complets et proposer des solutions approchées