Automates à pile - Maîtriser les grammaires formelles

Objectifs d'apprentissage

• Comprendre les concepts fondamentaux des automates à pile, y compris leurs définitions et leurs modèles de fonctionnement.
• Maîtriser l'équivalence entre les différents modes de reconnaissance des langages formels, notamment entre automates à pile et grammaires algébriques.
• Appliquer les automates à pile pour analyser et générer des langages algébriques, en exploitant leurs propriétés structurelles.
• Explorer les opérations de base sur les langages algébriques, telles que l'union, la concaténation et l'étoile de Kleene.
• Utiliser le lemme de l'étoile (pumping lemma) pour démontrer qu'un langage n'est pas algébrique.
• Distinguer les automates à pile déterministes des non-déterministes et comprendre leurs implications dans la reconnaissance des langages.

Public cible

Ce cours s'adresse aux étudiants en informatique théorique, en linguistique formelle ou en mathématiques appliquées, ayant déjà des bases en théorie des langages et des automates (notamment les automates finis). Il est également pertinent pour les professionnels souhaitant approfondir leurs connaissances en modélisation des langages context-free ou en conception de compilateurs. Une familiarité avec les notions de grammaires régulières et les automates finis est recommandée pour une compréhension optimale du contenu.

Contenu détaillé

Chapitre 1 : Automate à pile – définitions et modèles

Ce chapitre introduit les automates à pile comme extension des automates finis, en ajoutant une mémoire sous forme de pile. Les concepts clés incluent les états, l'alphabet d'entrée, l'alphabet de pile, les transitions et les conditions d'acceptation (par état final ou pile vide). Des exemples concrets illustrent leur fonctionnement pour reconnaître des langages non réguliers, comme les palindromes.

Chapitre 2 : Equivalence des modes de reconnaissance

Ce chapitre démontre l'équivalence entre les automates à pile et les grammaires algébriques (context-free). Il explore comment convertir une grammaire en automate à pile et vice versa, en mettant en lumière les correspondances entre les règles de production et les transitions de l'automate.

Chapitre 3 : Automates à pile et grammaires algébriques

Une analyse approfondie des liens entre les deux modèles, avec des exercices de transformation. Les limites des automates à pile non déterministes sont discutées, notamment leur incapacité à reconnaître certains langages déterministes.

Chapitre 4 : Opérations sur les langages algébriques

Présentation des opérations de fermeture (union, concaténation, étoile) et des propriétés de clôture des langages algébriques. Des contre-exemples montrent que l'intersection et le complément ne préservent pas toujours cette classe de langages.

Chapitre 5 : Lemme de l'étoile

Ce lemme essentiel permet de prouver qu'un langage n'est pas algébrique. Le chapitre détaille sa formulation, son application via des exercices (ex. : {a^n b^n c^n | n ≥ 0}), et ses limites.

Chapitre 6 : Automates à pile déterministes

Étude des restrictions imposées par le déterminisme (une seule transition possible par configuration). Comparaison avec les automates non déterministes et discussion des langages déterministes (ex. : langages LR(k) utilisés en analyse syntaxique).

Approche pédagogique

Le cours combine théorie (preuves, définitions) et pratique (exercices de construction d'automates, conversions grammaire/automate). Des outils comme JFLAP ou des simulateurs en ligne seront suggérés pour visualiser les comportements. Des études de cas tirées de l'analyse syntaxique (ex. : validation de parenthèses) renforcent l'aspect appliqué.