Système digital - De l'algorithme au circuit

Objectifs d'apprentissage

• Comprendre les fondements mathématiques des circuits digitaux, de l'algèbre binaire aux architectures électroniques.
• Maîtriser les principes de l'arithmétique sur silicium et son implémentation dans les processeurs modernes.
• Analyser les concepts de machines universelles et de nombres calculables pour concevoir des systèmes performants.
• Appliquer les théories de la communication et du codage pour la transmission efficace de données audio et vidéo.
• Explorer les liens entre physique digitale et circuits électroniques pour optimiser les architectures matérielles.

Public cible

Ce cours s'adresse aux étudiants en informatique, génie électrique ou mathématiques appliquées, ainsi qu'aux ingénieurs souhaitant approfondir leur compréhension des systèmes digitaux. Une connaissance de base en algèbre et en électronique est recommandée.

Circuit mathématique

Les circuits mathématiques forment la base théorique des systèmes digitaux. Ce module explore la modélisation des opérations logiques à travers des équations booléennes et des graphes de flux de données. Les apprenants découvriront comment les théorèmes mathématiques sous-tendent la conception des portes logiques et des circuits combinatoires.

Algèbre binaire

L'algèbre binaire, fondée sur les travaux de George Boole, est le langage des systèmes digitaux. Ce chapitre couvre les opérations AND, OR, NOT et leurs dérivées, ainsi que les méthodes de simplification des expressions booléennes (Karnaugh, Quine-McCluskey). Des études de cas montreront son application dans la réduction de la complexité des circuits.

Circuit électronique

Passage de la théorie à la pratique : ce volet détaille l'implémentation physique des concepts logiques via transistors CMOS, mémoires vives et circuits séquentiels. Une attention particulière est portée sur les contraintes énergétiques et les phénomènes quantiques en nano-électronique.

Arithmétique sur Silicium

Comment les processeurs effectuent-ils des calculs complexes ? Ce module révèle les architectures des unités arithmétiques et logiques (ALU), les méthodes de calcul en virgule flottante (norme IEEE 754) et les optimisations matérielles pour l'accélération des opérations.

Machines universelles

En s'appuyant sur la thèse de Church-Turing, cette section analyse comment les circuits digitaux implémentent des machines universelles capables d'exécuter tout algorithme calculable. Les limites physiques (énergie, vitesse) des architectures von Neumann et alternatives (calcul quantique) sont discutées.

Nombres calculables

Qu'est-ce qu'un nombre "calculable" dans un système digital fini ? Ce chapitre aborde les problèmes de représentation numérique (overflow, erreurs d'arrondi), les nombres p-adiques et les implications pour la précision des systèmes embarqués.

Physique digitale

La physique digitale étudie comment les lois physiques contraignent ou inspirent les architectures électroniques. Les sujets incluent la limite de Landauer, l'effet tunnel dans les nanotransistors, et les paradigmes émergents comme le calcul réversible.

Théorie de la communication

De Shannon à Wiener, ce module présente les fondements théoriques de la transmission digitale : capacité des canaux, entropie informationnelle et théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon. Des simulations illustreront leur impact sur la conception des systèmes de communication.

Codage et transmission : audio et vidéo

Application pratique des concepts précédents : compression MPEG, codage Huffman, correction d'erreurs (codes Reed-Solomon). Les étudiants analyseront des flux multimédias réels et implémenteront des algorithmes de traitement sur FPGA.