Graphes - Modélisation et algorithmes avancés

Objectifs d'apprentissage

• Maîtriser les concepts fondamentaux de la théorie des graphes, y compris les définitions, les propriétés et les types de graphes (orientés, non orientés, pondérés, etc.).
• Comprendre et implémenter les algorithmes classiques de parcours de graphes (DFS, BFS) pour résoudre des problèmes de connexité.
• Appliquer des algorithmes de recherche de plus courts chemins (Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd-Warshall) dans des contextes variés.
• Résoudre des problèmes d'optimisation à l'aide d'arbres couvrants de poids minimum (algorithmes de Kruskal et Prim).
• Modéliser et analyser des problèmes de flux dans les réseaux (algorithme de Ford-Fulkerson).
• Utiliser des graphes pour représenter des problèmes concrets dans divers domaines (informatique, biologie, réseaux sociaux).

Public cible

Ce cours s'adresse aux étudiants en informatique, mathématiques appliquées ou ingénierie ayant des bases en algorithmique et structures de données. Il est également adapté aux professionnels souhaitant approfondir leurs compétences en modélisation graphique, que ce soit pour des applications en intelligence artificielle, analyse de réseaux ou optimisation logistique. Une connaissance préalable des notions de programmation (Python, C++ ou Java) et des mathématiques discrètes est recommandée pour tirer pleinement profit des contenus.

Contenu détaillé

La théorie des graphes est un outil privilégié de modélisation et de résolution de problèmes dans un grand nombre de domaines allant de la science fondamentale aux applications technologiques concrètes. Par exemple, les graphes déterministes et aléatoires sont utilisés en chimie (modélisation de structure), en sciences sociales (pour représenter des relations entre groupes d’individus), en mathématiques combinatoires, en informatique (structures de données et algorithmique).

• Notions élémentaires sur les graphes : Définitions (sommets, arêtes, degré), types de graphes (complets, bipartis, eulériens), représentations (matrice d'adjacence, liste de voisins).
• Parcours de graphes et problèmes de connexité : Algorithmes DFS (Depth-First Search) et BFS (Breadth-First Search), détection de cycles, composantes connexes.
• Cheminement dans les graphes : Algorithmes de plus courts chemins (Dijkstra pour les graphes pondérés positifs, Bellman-Ford pour les poids négatifs), applications en routage réseau.
• Arbre couvrant de poids minimum : Algorithmes gloutons (Kruskal et Prim), optimisation des coûts dans les réseaux.
• Flots dans les graphes : Théorème flot-max/coupe-min, algorithme de Ford-Fulkerson, applications en gestion de trafic ou distribution de ressources.

Approche pédagogique

Le cours combine des exposés théoriques avec des travaux pratiques impliquant l'implémentation d'algorithmes sur des cas réels (ex : analyse de réseaux sociaux, planification de trajets). Des outils comme NetworkX (Python) ou Graphviz seront utilisés pour visualiser et manipuler des graphes. Des projets de groupe permettront d'explorer des applications innovantes, comme la recommandation de liens dans un graphe de connaissances.

Résultats attendus

À l'issue du cours, les participants seront capables de modéliser un problème complexe sous forme de graphe, de choisir et d'adapter un algorithme existant pour le résoudre, et d'évaluer son efficacité (complexité temporelle et spatiale). Ils auront également développé une intuition pour identifier les limites des approches classiques et explorer des extensions (graphes dynamiques, algorithmes probabilistes).